LOS NÚMEROS ENTEROS

¿Qué son lo números enteros?

Los números enteros son un conjunto numérico. Comprende los elementos que pertenecen al conjunto ℤ formado por los números naturales (los enteros positivos), sus opuestos (los enteros negativos) y el cero (0).

ℤ = { …−4,−3,−2,−1,0,1,2,3,4… }
ℤ+ = { 1,2,3,4,5,6,7,8… } enteros positivos.
ℤ− = { −1,−2,−3,− 4,…} enteros negativos.
Luego: ℤ = ℤ− ∪ 0 ∪ ℤ+

Vídeo sobre los números enteros:

Algunas aplicaciones de los números enteros en la vida cotidiana:

• Para señalar el número del piso de un edificio en el ascensor. Utilizamos números negativos para los pisos que están por debajo de cero, es decir, para los sótanos o plantas subterráneas, parqueaderos, etcétera.

•  Para medir altitudes. Se considera cero (0) el nivel del mar, los niveles por encima del mar se pueden expresar por números enteros positivos, y los niveles por debajo del nivel del mar se pueden expresar por números enteros negativos.

• Para medir temperaturas. Fíjate en el termómetro. El termómetro mide la temperatura en grados. Cuando el termómetro marca 0 grados el agua se congela. 

En este ejemplo el termómetro marca 4°C, ya que la temperatura se encuentra por encima de 0°C, el punto de congelación del agua. Luego, podemos representarlo con el número entero +4, porque está en la parte positiva de la escala.

Si, por ejemplo, en invierno, en la ciudad de Moscú se registra una temperatura de -12°C. Entonces la podemos representar con el número entero -12, ya que esta temperatura se encuentra por debajo de cero grados.

Las temperaturas por encima de cero (0) grados se indican con números enteros positivos.Las temperaturas por debajo de 0 grados se indican con números enteros negativos.

• Para especificar cuánto hace que ocurrió un acontecimiento en la escala del tiempo en orden cronológico:

El acontecimiento que estableció un punto de referencia, en la historia de la humanidad, lo constituye el nacimiento de Jesucristo. Por lo tanto, todos aquellos hechos que ocurrieron, antes del nacimiento de Cristo, los expresamos diciendo: "antes de Cristo", o a. de c.. Mientras que todos aquellos hechos que se realizaron después del nacimiento de Cristo, los expresamos diciendo que sucedieron "después de Cristo", o d. de c.

Por ejemplo, en el año 3.000 a. de c., se inventó la escritura en Mesopotamia. Este hecho podemos representarlo con el número entero - 3.000, ya que sucedió antes de Cristo.

Se observan evidencias que datan del año 300 d. de c., de que los mayas empleaban el Cero en su sistema de numeración. Este hecho se puede representar con el número entero 300, ya que ocurrió después del nacimiento de Cristo.

• Para especificar transacciones comerciales, como deudas, y dinero a favor de una persona:

Si, por ejemplo Cristina le prestó $ 500 a Jorge. Esta situación la podemos representar indicando, que Jorge tiene - 500, con relación a Cristiia, ya que le debe en este momento $ 500 a Cristina. Mientras que la relación comercial de Cristina, con respecto a Jorge es de + 500, ya que le están adeudando a Cristina $ 500.

En las transacciones comerciales, el cero (0) expresa la situación en que no tenemos dinero ni lo debemos.


El valor absoluto de un número:

El valor absoluto de un número entero, corresponde al número de unidades que separan a dicho número de cero, es decir la distancia del número con respecto al cero.

El valor absoluto de un número se representa, escribiendo el número entre dos rayas verticales.

Por ejemplo, | 5 |, quiere decir valor absoluto de 5. El resultado es igual a 5. Ya que el número 5, está separado 5 unidades del cero.

Vídeo números enteros y valor absoluto

Ejemplos:

a) | 7 | = 7.

b) | -6 | = 6.

c) |- 2 | = 2

d) | 0 | = 0

e) | -10 | = 10.



El opuesto de un número

El opuesto de un número entero es otro número entero con el mismo valor absoluto y distinto signo. En pocas palabras, el opuesto de un número, es el mismo número, pero con signo contrario.

Ejemplos:

a) Hallar el opuesto de -5 

Como podemos observar en la gráfica, el opuesto de -5, es un número de igual valor, pero de signo contrario. En este caso, el opuesto de -5 es el número positivo 5.

b) Hallar el opuesto de 4:

Como se puede observar, el opuesto de 4 es -4.

Comparación de números enteros

Un número entero es mayor que otro si al representarlo en la recta numérica se encuentra a su derecha.

– Dados dos números negativos, el mayor es el de valor absoluto más pequeño.
– Dados un número positivo y uno negativo, el mayor es el positivo.
– Dados dos números positivos, el mayor es el más grande.

Para comparar dos números enteros, se utilizan los símbolos: mayor que ( >), menor que (<) o igual a (=).

Ejemplos:

a) Comparar los siguientes números:

  - 5  > - 9

b) Comparar los siguientes números:

 -1 <  3

c) Comparar los siguientes números:

    10 > 7


d) Comparar los siguientes números enteros:

| -5 | > 3. Como | -5 | = 5. Entonces concluimos que | -5 | > 3; ya que 5 > 3.

Ordenar números enteros:

• Cuanto más a la derecha del cero esté un número entero situado en la recta numérica, el número es más grande. 

• Cuanto más a la izquierda con respecto al cero esté situado el número entero, el número es más pequeño.

Ejemplos:

a) -1 está más a la izquierda que +2 por tanto –1 es menor que +2.

Se escribe –1 < +2

b) | -5 | > 3. Como | -5 | = 5. Entonces concluimos que | -5 | > 3; ya que 5 > 3.

c)  Ordene de mayor a menor los siguientes enteros:

a)      - 18, 24, 0, - 6, 19, 12                      

Respuesta: 24, 19, 12, 0, -6, -12

 d)   Ordene de menor a mayor los siguientes enteros:

a)      - 1, 13, 9, - 81, 49, 1                        

Respuesta:  -81, -1, 1, 9, 13, 49.

El plano cartesiano:

Está formado por dos rectas numéricas perpendiculares, una horizontal, y otra vertical que se cortan en un punto, llamado el origen.

La recta horizontal es llamado eje de las abscisas, o de las equis (X), o simplemente eje X. La recta vertical, es llamada eje de las ordenadas, o de las yes (Y), o simplemente eje Y.


El plano cartesiano tiene como finalidad describir la posición de puntos, los cuales se representan por sus coordenadas o pares ordenados .

Las coordenadas se forman asociando un valor del eje de las equis a uno de las yes, respectivamente, esto indica que un punto (P) se puede ubicar en el plano cartesiano tomando como base sus coordenadas, lo cual se representa como:

P (x, y).

El  origen se le llama al punto de corte entre los dos ejes del plano cartesiano. Las coordenadas del origen, o punto cero son: (0, 0), 0 lugares en X, y o lugares en Y.

Ejemplo 1:

Localizar el punto A (-4, 5) en el plano cartesiano.

El punto A se ubica 4 lugares hacia la izquierda en la abcisa (x) y 5 lugares hacia arriba en ordenada (y).

Ejemplo 2:

Determinar las coordenadas del punto M.

Las coordenadas del punto M son (3,-5).

“La felicidad es olvidarse de los problemas; y valorar lo que se tiene.”