SUMA Y RESTA DE FRACCIONES

Objetivo:

- Que el estudiante sume y reste fracciones con igual y diferente denominador, y resuelva problemas  de la vida cotidiana sobre este tema.


SUMA DE FRACCIONES HOMOGÉNEAS:

Para sumar fracciones del mismo denominador, simplemente se suman los numeradores y se deja siempre el mismo denominador.

Ejemplo # 1:

Sumar los siguientes fraccionarios homogéneos:

2 / 4 + 3 / 4 +  7 / 4 = 12 / 4

Al sumar los tres numeradores: 2 + 3 + 7 = 12.  Si se deja el mismo denominador, entonces el resultado es: 12 / 4.

Ejemplo # 2

Sumar las siguientes fracciones homogéneas:

11 / 3 + 2 / 3 - 5 / 3 = 8 / 3.

Al sumar los 2 primeros numeradores 11 + 2 = 13; pero luego hay que restarle el tercer denominador a este resultado 5, es decir: 13 - 5 = 8. Por lo tanto el resultado es: 8 / 3.

RESTA DE FRACCIONES HOMOGÉNEAS:

Para restar fracciones del mismo denominador, simplemente se restan los numeradores y se deja siempre el mismo denominador.

Ejemplo # 1:

Restar las siguientes fracciones homogéneas:

11 / 2  -  5 / 2  =  6 / 2

Al restar los denominadores: 11 - 5  = 6.  Si se deja el mismo denominador, entonces el resultado es: 6 / 2.

SUMA Y RESTA DE FRACCIONES DE DISTINTO DENOMINADOR (HETEROGÉNEAS):

Para sumar fracciones de distinto denominador, se reducen las fracciones a común denominador; después se suman los numeradores y se deja el mismo denominador.

Ejemplo # 1:

4 / 5 + 1 / 3 + 1 / 2 =  ?

1) Se debe hallar el común denominador, es decir debemos hallar el m. c. m. de los denominadores de cada uno de las fracciones.

En este caso: m. c. m. de (5, 3, 2) =  30. Este es el común denominador para todas las fracciones.

2) Convertimos cada fracción al común denominador.
   
    4 / 5 x 6 / 6 = 24 / 30.
 
    1 / 3 x 10 / 10 = 10 / 30.

    1 / 2 x 15 / 15 = 15 / 30.

3) Sumamos los numeradores, y dejamos el mismo denominador.

    24 + 10 + 15 = 49.

    Dejamos los mismos denominadores y nos da lo siguiente:

    = 49 / 30. Que es el resultado final de esta suma.


RESTA DE FRACCIONES DE DISTINTO DENOMINADOR:

Para restar fracciones de distinto denominador, se reducen las fracciones a común denominador; después se restan los numeradores y se deja el mismo denominador.


Ejemplo # 1:

Restar las fracciones homogéneas:

2 / 3 - 1 / 4 = ?

1) Se debe hallar el común denominador, es decir debemos hallar el m. c. m. de los denominadores de cada uno de las fracciones.

En este caso: m. c. m. de (3, 4) =  12. Este es el común denominador para todas las fracciones.

2) Convertimos cada fracción al común denominador.
 
    2 / 3 x 4 / 4 = 8 / 12.
 
    1 / 4 x 3 / 3 = 3 / 12.


3) Restamos los numeradores, y dejamos el mismo denominador.

    8 - 3 = 5.

    Dejamos los mismos denominadores y nos da lo siguiente:

    =  5 / 12. Que es el resultado final de esta resta.

RELACIONES DE ORDEN, COMPARACIÓN DE FRACCIONES Y FRACCIONES EQUIVALENTES

RELACIONES DE ORDEN Y FORMAS DE REPRESENTAR FRACCIONES

I.   Representación gráfica de racionales (fracciones).

Se pueden representar fracciones de manera gráfica, como por ejemplo:

      

II.  Representación de fracciones en la recta numérica:

Para representar fracciones en la recta numérica se deben seguir los siguientes pasos:

1.      Observar el fraccionario y mirar el signo, si es positivo, se representa en la recta positiva, si el signo es negativo, se representa en la recta negativa.

2.      Observar el fraccionario y mirar el denominador. De acuerdo al denominador, dividir cada una de las unidades de la recta numérica en el número que indica el denominador.

3.      Contar el número de unidades que indica el denominador.

4.      Ubicar en el intervalo correspondiente el fraccionario.

Ejemplos:

1)      Represente las siguientes fracciones en la recta numérica:

a.    - 11 / 3   

        b. 13 / 4

III.   Relaciones de orden en los números racionales.

Los números racionales, siguen el mismo orden que los números enteros. Los números que se encuentran en la parte negativa de la recta numérica serán más pequeños entre más se alejen a la izquierda del cero, que los que se encuentren más cerca del cero. Por otro lado, en la recta positiva, a la derecha del cero, los números que se encuentren más lejos a la derecha del cero, serán más grandes que los que se encuentre más cerca del cero.

Ejemplos:

1.     Escriba “mayor que” >, “menor que” <, o “igual a” =, entre las siguientes fracciones :

        a.  3 / 5 _______ 1 / 3

Si observamos ambos número son positivos, por lo tanto el número que esté más lejos del cero será el más grande entre los dos. Por lo tanto el número 3/5 es mayor que el número 1/3. Estos dos números también los podemos representar gráficamente para darnos cuenta cuál es mayor.

Por lo tanto: 

    3 / 5 > 1 / 3

       b. 6 /2 _________ 9 / 3

Estas dos fracciones son positivas, y además son fracciones enteras. Como ambas fracciones representan el mismo número, el número 3.  6/2 =3, y 9/3 =3. Por lo tanto los dos números son iguales, ya que ambos son positivos y su valor es 3.

 Así que:     6 / 2  =  9 / 3

        c. - 9 / 2 ________ 3 / 5

Al observar estas dos fracciones, observamos que la primera es negativa, y la segunda es positiva. Por lo tanto podemos concluir de manera rápida que la mayor de las dos es la segunda, por ser positiva.

Por lo tanto:

       - 9 / 2 < 3 / 5.

        d. - 9 / 3________ - 1 / 5

En este caso, ambas fracciones son negativas. Debemos analizar cuál de las dos fracciones está más cerca del cero en la recta numérica. Observando la segunda fracción -1/5 está más cerca del cero, y por lo tanto esta fracción es la mayor. Entonces:

         - 9 / 3 < - 1 / 5

En cada caso si queremos, podemos representar cada una de las  fracciones en la recta numérica, para comprobar los resultados del signo.

2.     Ordene las siguientes fracciones de menor a mayor: 

       - 2/ 3, 1 /4, 6 / 5, - 12 / 6.

En este tipo de ejercicios se nos pide que escribamos en orden de menor a mayor o de mayor a menor una lista de fracciones dada.

 Para el caso, como se nos dice que la ordenemos de menor a mayor, escribiré primero las fracciones negativas, empezando por la más pequeña hasta la más grande, y luego las fracciones positivas, empezando por la más pequeña hasta la más grande.

Por lo tanto el orden correcto es:

        - 12 / 6 < - 2 / 3 < 1 / 4 < 6 / 5

IV.   Amplificación de fracciones:

Consiste en multiplicar el denominador y numerador de una fracción por un mismo número. Esta acción permite que tanto el denominador como el numerador de la fracción aumenten de valor tantas veces como veces se amplifica, pero el valor de la fracción como tal, se mantiene igual. La fracción inicial y su forma amplificada son equivalentes, valen lo mismo.

Por ejemplo, si la fracción se amplifica por dos, significa que el denominador y el numerador aumentarán su valor al doble, pero en este ejemplo y siempre que se amplifique una fracción, se obtendrán fracciones equivalentes; es decir, fracciones que representan la misma cantidad.

TIPOS DE FRACCIONES Y NÚMEROS MIXTOS

TIPOS DE FRACCIONES Y NÚMEROS MIXTOS

Vídeo sobre fracciones y tipos de fracciones.

TIPO DE FRACCIÓN

! Fracción propia: Una fracción es propia cuando el numerador es menor que el denominador. Esta fracción es menor que la unidad. Por ejemplo 5 / 8 que se lee cinco octavos es propia.

! Fracción impropia: Una fracción es impropia cuando el numerador es mayor que el denominador. Esta fracción es mayor que la unidad. Por ejemplo 7 / 4 que se lee siete cuartos es impropia.

! Fracción igual a la unidad: Una fracción es igual a la unidad cuando el numerador es igual que el denominador. Por ejemplo 8 / 8 que se lee ocho octavos es igual a una  unidad. 8 / 8 = 1 unidad.

! Fracción entera: Una fracción es entera cuando el numerador múltiplo del denominador. Estas fracciones son números naturales mayores que la unidad. Por ejemplo 16 / 8 que se lee cuatro medios es una fracción entera. Porque al dividir 16 entre 8 el resultado me da un número entero = 2 unidades. 16 / 8 = 2 unidades.

! Números mixtos:

Cualquier fracción impropia se puede expresar como un número natural más una fracción propia. Un número mixto es una expresión que tiene una parte entera y una parte fraccionaria. La parte fraccionaria de un número mixto es una fracción propia. Por ejemplo 5 /2 = 2 + 1 / 2, donde 2 es la parte entera y 1 /2 la parte fraccionaria menor que la unidad.

7 / 4 = 4 / 4 + 3 / 4 = 1 +  3 / 4       

Ejemplos:

 4 / 3  = 1 + 1/3.

! Conversión de una fracción en un número mixto:

Para convertir una fracción impropia en un número mixto, se realizan los siguientes pasos:

è Primero, se divide el numerador de la fracción entre el denominador.

è Segundo, se determina el cociente y el residuo de la división anterior.

è Por último, se escribe la fracción como un número mixto, tomando como parte entera el cociente de la división y como parte fraccionaria, la fracción propia que tiene como numerador el residuo de la división y como denominador el mismo de la fracción.

Ejemplo:

Para convertir 17 / 3 en un número mixto, se divide el numerador entre el denominador así:

17   3 = 5  + 2 / 3 = 5 2 / 3.

! Conversión de un número mixto en una fracción:

Para convertir un número mixto en una fracción se realizan los siguientes pasos:

è Primero, se multiplica la parte entera del número mixto por el denominador de la parte fraccionaria.

è Segundo, se suma a este producto el numerador de la parte fraccionaria.

è Por último, el resultado obtenido es el numerador de la fracción impropia. El denominador es el mismo denominador de la parte fraccionaria del número mixto.

Ejemplo:

Para convertir 3 4 / 5 en fracción. Se multiplica 3 x 5 = 15.

Luego, se suma 15 + 4 = 19. La fracción impropia es: 19 / 5. 

RACIONALES CONCEPTOS BÁSICOS

LOS NÚMEROS RACIONALES

Vídeo sobre los números racionales

! Los números racionales pueden expresarse en forma de fracción.

Los números racionales son aquellos que se pueden expresar como cociente de dos números enteros. O lo que es lo mismo, son los números que pueden expresarse en forma de fracción.

! Los números racionales incluyen los números enteros y los fraccionarios.

En matemáticas, los números racionales pueden expresarse con la letra Q, que deriva de cociente o quotient. En este conjunto se encuentran los números enteros y los fraccionarios. Los enteros son aquellos que no contienen decimales y los fraccionarios los que contienen fracciones.

FORMAS DE EXPRESAR UN NÚMERO RACIONAL.

Existen dos formas de expresar un número racional:

a)      .       Ejemplo:  3 / 4.       ( forma de racional fraccionario )

b)      (forma de racional decimal).  Para realizar esto divides el numerador entre el denominador.

FORMAS DE UN RACIONAL DECIMAL.

Existen tres formas de expresar un racional decimal :

a)   racional finito o exacto

 

           

b) racional infinito periódico

 

c)  racional infinito semiperiódico

           

           

! Elementos de una Fracción:

Una fracción es una expresión   a / b ; en donde a, b    N, y b  0.

El número b es llamado denominador, e indica el número de partes iguales en que se divide la unidad.

El número a es llamado numerador e indica el número de partes que se toman de la unidad.

Para representar fracciones se pueden utilizar figuras geométricas. La figura se divide en tantas partes iguales como se indique en el denominador. Después se colorean las partes que señale el numerador.

Ejemplo 1:

Indicar la fracción representada por la región sombreada en la siguiente figura:

Se dividió la unidad en 8 partes iguales, y se han coloreado 3 partes. Por lo tanto, la fracción que representa la fracción sombreada es: 3 / 8.

Ejemplo 2:

Representar gráficamente la fracción  3 / 4:     

Se divide la figura en 4 partes iguales y se colorean 3 partes de esta manera:

! Fracción como cociente:

Una fracción también se puede expresar como un cociente. En este caso, indica que un número de objetos debe ser repartido en cantidades iguales.

Una fracción a / b  expresa el cociente entre dos números a, b    N, y b  0.

El numerador a corresponde al dividendo y el denominador b corresponde al divisor.

! Fracción como razón:

Las fracciones se utilizan para comparar dos cantidades.

Por ejemplo en un colegio de bachillerato hay 9 profesoras y 12 profesores. La relación entre el número de profesoras y profesores, se puede expresar de las siguientes formas:

·         La relación entre profesoras y profesoras es de 9 a 12.

·         Por cada 9 profesoras hay 12 profesores.

·         Se puede expresar como una fracción:  9 / 12.

! Fracción de un número:

Para calcular la fracción de una cantidad dividimos la cantidad por el denominador y multiplicamos el cociente por el numerador.

Ejemplo 1:

Sombree 1 / 5 de los rectángulos que se muestran en la figura.

Como hay 10 rectángulos, dividimos el grupo de 10 rectángulos en 5 grupos de 2 rectángulos; y luego coloreamos uno de los cinco grupos. Y de esta manera hemos coloreado la quinta parte de los rectángulos.

Haciendo las operaciones sería:  1 / 5    de 10 =  (10 :   5) x 1 = 2 x 1 = 2.