SUMA Y RESTA DE FRACCIONES

Objetivo:

- Que el estudiante sume y reste fracciones con igual y diferente denominador, y resuelva problemas  de la vida cotidiana sobre este tema.


SUMA DE FRACCIONES HOMOGÉNEAS:

Para sumar fracciones del mismo denominador, simplemente se suman los numeradores y se deja siempre el mismo denominador.

Ejemplo # 1:

Sumar los siguientes fraccionarios homogéneos:

2 / 4 + 3 / 4 +  7 / 4 = 12 / 4

Al sumar los tres numeradores: 2 + 3 + 7 = 12.  Si se deja el mismo denominador, entonces el resultado es: 12 / 4.

Ejemplo # 2

Sumar las siguientes fracciones homogéneas:

11 / 3 + 2 / 3 - 5 / 3 = 8 / 3.

Al sumar los 2 primeros numeradores 11 + 2 = 13; pero luego hay que restarle el tercer denominador a este resultado 5, es decir: 13 - 5 = 8. Por lo tanto el resultado es: 8 / 3.

RESTA DE FRACCIONES HOMOGÉNEAS:

Para restar fracciones del mismo denominador, simplemente se restan los numeradores y se deja siempre el mismo denominador.

Ejemplo # 1:

Restar las siguientes fracciones homogéneas:

11 / 2  -  5 / 2  =  6 / 2

Al restar los denominadores: 11 - 5  = 6.  Si se deja el mismo denominador, entonces el resultado es: 6 / 2.

SUMA Y RESTA DE FRACCIONES DE DISTINTO DENOMINADOR (HETEROGÉNEAS):

Para sumar fracciones de distinto denominador, se reducen las fracciones a común denominador; después se suman los numeradores y se deja el mismo denominador.

Ejemplo # 1:

4 / 5 + 1 / 3 + 1 / 2 =  ?

1) Se debe hallar el común denominador, es decir debemos hallar el m. c. m. de los denominadores de cada uno de las fracciones.

En este caso: m. c. m. de (5, 3, 2) =  30. Este es el común denominador para todas las fracciones.

2) Convertimos cada fracción al común denominador.
   
    4 / 5 x 6 / 6 = 24 / 30.
 
    1 / 3 x 10 / 10 = 10 / 30.

    1 / 2 x 15 / 15 = 15 / 30.

3) Sumamos los numeradores, y dejamos el mismo denominador.

    24 + 10 + 15 = 49.

    Dejamos los mismos denominadores y nos da lo siguiente:

    = 49 / 30. Que es el resultado final de esta suma.


RESTA DE FRACCIONES DE DISTINTO DENOMINADOR:

Para restar fracciones de distinto denominador, se reducen las fracciones a común denominador; después se restan los numeradores y se deja el mismo denominador.


Ejemplo # 1:

Restar las fracciones homogéneas:

2 / 3 - 1 / 4 = ?

1) Se debe hallar el común denominador, es decir debemos hallar el m. c. m. de los denominadores de cada uno de las fracciones.

En este caso: m. c. m. de (3, 4) =  12. Este es el común denominador para todas las fracciones.

2) Convertimos cada fracción al común denominador.
 
    2 / 3 x 4 / 4 = 8 / 12.
 
    1 / 4 x 3 / 3 = 3 / 12.


3) Restamos los numeradores, y dejamos el mismo denominador.

    8 - 3 = 5.

    Dejamos los mismos denominadores y nos da lo siguiente:

    =  5 / 12. Que es el resultado final de esta resta.

RELACIONES DE ORDEN, COMPARACIÓN DE FRACCIONES Y FRACCIONES EQUIVALENTES

RELACIONES DE ORDEN Y FORMAS DE REPRESENTAR FRACCIONES

I.   Representación gráfica de racionales (fracciones).

Se pueden representar fracciones de manera gráfica, como por ejemplo:

      

II.  Representación de fracciones en la recta numérica:

Para representar fracciones en la recta numérica se deben seguir los siguientes pasos:

1.      Observar el fraccionario y mirar el signo, si es positivo, se representa en la recta positiva, si el signo es negativo, se representa en la recta negativa.

2.      Observar el fraccionario y mirar el denominador. De acuerdo al denominador, dividir cada una de las unidades de la recta numérica en el número que indica el denominador.

3.      Contar el número de unidades que indica el denominador.

4.      Ubicar en el intervalo correspondiente el fraccionario.

Ejemplos:

1)      Represente las siguientes fracciones en la recta numérica:

a.    - 11 / 3   

        b. 13 / 4

III.   Relaciones de orden en los números racionales.

Los números racionales, siguen el mismo orden que los números enteros. Los números que se encuentran en la parte negativa de la recta numérica serán más pequeños entre más se alejen a la izquierda del cero, que los que se encuentren más cerca del cero. Por otro lado, en la recta positiva, a la derecha del cero, los números que se encuentren más lejos a la derecha del cero, serán más grandes que los que se encuentre más cerca del cero.

Ejemplos:

1.     Escriba “mayor que” >, “menor que” <, o “igual a” =, entre las siguientes fracciones :

        a.  3 / 5 _______ 1 / 3

Si observamos ambos número son positivos, por lo tanto el número que esté más lejos del cero será el más grande entre los dos. Por lo tanto el número 3/5 es mayor que el número 1/3. Estos dos números también los podemos representar gráficamente para darnos cuenta cuál es mayor.

Por lo tanto: 

    3 / 5 > 1 / 3

       b. 6 /2 _________ 9 / 3

Estas dos fracciones son positivas, y además son fracciones enteras. Como ambas fracciones representan el mismo número, el número 3.  6/2 =3, y 9/3 =3. Por lo tanto los dos números son iguales, ya que ambos son positivos y su valor es 3.

 Así que:     6 / 2  =  9 / 3

        c. - 9 / 2 ________ 3 / 5

Al observar estas dos fracciones, observamos que la primera es negativa, y la segunda es positiva. Por lo tanto podemos concluir de manera rápida que la mayor de las dos es la segunda, por ser positiva.

Por lo tanto:

       - 9 / 2 < 3 / 5.

        d. - 9 / 3________ - 1 / 5

En este caso, ambas fracciones son negativas. Debemos analizar cuál de las dos fracciones está más cerca del cero en la recta numérica. Observando la segunda fracción -1/5 está más cerca del cero, y por lo tanto esta fracción es la mayor. Entonces:

         - 9 / 3 < - 1 / 5

En cada caso si queremos, podemos representar cada una de las  fracciones en la recta numérica, para comprobar los resultados del signo.

2.     Ordene las siguientes fracciones de menor a mayor: 

       - 2/ 3, 1 /4, 6 / 5, - 12 / 6.

En este tipo de ejercicios se nos pide que escribamos en orden de menor a mayor o de mayor a menor una lista de fracciones dada.

 Para el caso, como se nos dice que la ordenemos de menor a mayor, escribiré primero las fracciones negativas, empezando por la más pequeña hasta la más grande, y luego las fracciones positivas, empezando por la más pequeña hasta la más grande.

Por lo tanto el orden correcto es:

        - 12 / 6 < - 2 / 3 < 1 / 4 < 6 / 5

IV.   Amplificación de fracciones:

Consiste en multiplicar el denominador y numerador de una fracción por un mismo número. Esta acción permite que tanto el denominador como el numerador de la fracción aumenten de valor tantas veces como veces se amplifica, pero el valor de la fracción como tal, se mantiene igual. La fracción inicial y su forma amplificada son equivalentes, valen lo mismo.

Por ejemplo, si la fracción se amplifica por dos, significa que el denominador y el numerador aumentarán su valor al doble, pero en este ejemplo y siempre que se amplifique una fracción, se obtendrán fracciones equivalentes; es decir, fracciones que representan la misma cantidad.